solveur d'équations différentielles ordinaires
y=ode(y0,t0,t,f) [y,w,iw]=ode([type],y0,t0,t [,rtol [,atol]],f [,jac] [,w,iw]) [y,rd,w,iw]=ode("root",y0,t0,t [,rtol [,atol]],f [,jac],ng,g [,w,iw]) y=ode("discrete",y0,k0,kvect,f)
vecteur ou matrice réelle (conditions initiales).
réel (instant initial).
vecteur réel (instants où la solution est renvoyée).
fonction externe (fonction Scilab ou chaîne de caractères ou liste).
une des chaînes de caractères : "adams"
,
"stiff"
, "rk"
,
"rkf"
, "fix"
,
"discrete"
, "root"
tolérances absolue et relative sur les valeurs de la
solution
y
(décimaux). Si atol
ou rtol
est un scalaire, sa valeur est
utilisée pour chaque composante de y
.
Sinon, elle doit être un vecteur de taille size(y), et
est appliquée aux composantes respectives de
y
.
fonction externe (fonction Scilab, chaîne de caractères ou liste).
entier
fonction externe (fonction Scilab, chaîne de caractères ou liste).
entier (instant initial).
vecteur d'entiers.
vecteur ou matrice réel: la solution.
vecteur de réels.
vecteurs de réels. Voir les options de sortie de ode().
ode
est la fonction utilisée pour approcher la
solution d'une équation différentielle ordinaire (EDO) explicite du
premier ordre en temps, définie par : dy/dt=f(t,y) , y(t0)=y0. Il s'agit
d'une interface vers diverses bibliothèques, en particulier ODEPACK. Le type
du problème et la méthode utilisée dépendent de la valeur du premier
argument optionnel type
qui peut être égal à :
le solveur lsoda
du package ODEPACK est
utilisé par défaut. Il choisit automatiquement entre un schéma
prédicteur-correcteur d'Adams et un schéma adapté au systèmes raides
(stiff) de type "Backward Differentiation Formula" (BDF).
Initialement le schéma adapté aux système non raides est choisi puis
la méthode adaptée est ensuite choisie dynamiquement.
Problèmes non raides. Le solveur lsode
du
package ODEPACK est utilisé (schéma d'Adams).
Pour les systèmes raides. Le solveur lsode
du package ODEPACK est utilisé avec le schéma BDF.
Schéma de Runge-Kutta adaptatif d'ordre 4 (RK4).
Formules de Shampine et Watts basées sur les paires de Runge-Kutta Fehlberg d'ordre 4 et 5 (RKF45). Bien pour les problèmes non raides ou moyennement raides, lorsque le calcul du second membre n'est pas trop coûteux. Cette méthode est à éviter si l'on recherche une très grande précision.
Identique à "rkf"
, mais l'interface est
simplifiée, i.e.
uniquement rtol
et atol
sont
communiqués au solveur.
Solveur d'EDO avec recherche de racines. Le solveur
lsodar
du package ODEPACK est utilisé. C'est une
variante de lsoda
permettant la recherche d'une
racine d'une fonction vectorielle donnée. Voir ode_root pour plus de
détails.
Simulation en temps discret. Voir ode_discrete pour plus de détails.
Ici on ne décrit l'usage de ode
que pour des EDO
explicites.
L'appel le plus simple de ode
est du type :
y=ode(y0,t0,t,f)
où y0
est le
vecteur des conditions initiales, t0
est le temps
initial, et t
est le vecteur des instants où l'on
veut une approximation de la solution. y
est
calculée et y
est la matrice
y=[y(t(1)),y(t(2)),...]
.
Le paramètre d'entrée f
de
ode
définit le membre de droite de l'équation
différentielle du premier ordre dy/dt=f(t,y). C'est un external qui
peut être :
Soit une fonction Scilab, sa syntaxe doit être ydot
= f(t,y)
où t
est un scalaire (le
temps), y
un vecteur (l'état). Cette fonction
renvoie le second membre de l'équation différentielle
dy/dt=f(t,y).
Soit une chaîne de caractères, elle désigne le nom d'une
subroutine Fortran ou une procédure C, i.e. si
ode(y0,t0,t,"fex")
est la commande, alors la
procedure fex
est appelée.
Si c'est une subroutine Fortran, sa liste d'appel doit être
subroutine fex(n,t,y,ydot) integer n double precision t,y(*),ydot(*) | ![]() | ![]() |
Si c'est une fonction C son prototype doit être:
Cet external peut être compilé par l'utilitaire ilib_for_link et chargé dynamiquement par la fonction link.
Soit une liste avec la structure suivante
list(vrai_f,u1,u2,...un)
où
vrai_f
est une fonction avec la syntaxe
ydot = vrai_f(t,y,u1,u2,...,un)
Cette syntaxe permet de passer des paramètres sous forme
d'arguments supplémentaires de vrai_f
.
La fonction f
peut renvoyer une matrice
p x q
au lieu d'un vecteur. Dans ce cas, on résout
le système d'EDO n=p+q
dY/dt=F(t,Y)
où Y
est une
matrice p x q
. La condition initiale
Y0
doit aussi être une matrice p x
q
matrix et le résultat renvoyé par ode
est la matrice: p x q(T+1)
égale à
[Y(t_0),Y(t_1),...,Y(t_T)]
.
Des paramètres optionnels contrôlent la tolérance du schéma :
rtol
et atol
sont des valeurs
seuil sur les erreurs estimées (relative et absolue) L'erreur estimée
sur y(i)
est
rtol(i)*abs(y(i))+atol(i)
Si rtol
et/ou atol
sont
des constantes rtol(i)
et/ou
atol(i)
prennent ces valeurs. Les valeurs par
défaut de rtol
et atol
sont
respectivement rtol=1.d-5
et
atol=1.d-7
pour la plupart des solveurs et
rtol=1.d-3
et atol=1.d-4
pour
"rfk"
et "fix"
.
Pour les problèmes raides, il est recommandé de fournir la
jacobienne du second membre sous forme de l'argument optionnel
jac
. Le paramètre jac
de
ode
est par exemple une fonction Scilab, dont la
syntaxe est imposée, ou le nom d'une subroutine Fortran ou C (chaîne
de caractères) ou une liste.
Si jac
est une fonction Scilab sa syntaxe
doit être J=jac(t,y)
où t
est un scalaire (le temps) et
y
un vecteur (l'état). La matrice
J
doit renvoyer df/dx i.e. J(k,i) = dfk
/dxi
avec fk
= k-ième composante de
f.
Si f
est une chaîne de caractères, elle
désigne le nom d'une subroutine Fortran ou C.
En Fortran, Cette routine doit avoir la liste d'appel suivante :
subroutine fex(n,t,y,ml,mu,J,nrpd) integer n,ml,mu,nrpd double precision t,y(*),J(*) | ![]() | ![]() |
Si c'est une fonction C son prototype doit être:
Dans la plupart des cas il n'est pas nécessaire d'utiliser
ml
, mu
et
nrpd
, qui sont relatifs à la possibilité de
stockage "bande" du Jacobien
Si jac
est une liste, les mêmes conventions
que pour f
s'appliquent.
Les arguments optionnels w
et
iw
sont des vecteurs dans lesquels le solveur stocke des
informations sur son état (voir ode_optional_output pour plus de
détails) . Lorsque ces paramêtres sont utilisés comme argument
d'entrée, ils permettent de redémarrer l'intégration au point où elle
s'était arrêtée à la sortie d'un appel précédent à
ode
.
Plus d'options peuvent être passées aux solveurs d'ODEPACK en
utilisant la variable %ODEOPTIONS
. Voir odeoptions.
// ---------- EDO Simple (external : fonction Scilab) // dy/dt=y^2-y sin(t)+cos(t), y(0)=0 function ydot=f(t, y),ydot=y^2-y*sin(t)+cos(t),endfunction y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi; y=ode(y0,t0,t,f) plot(t,y) // ---------- EDO Simple (external : code C) ccode=['#include <math.h>' 'void myode(int *n,double *t,double *y,double *ydot)' '{' ' ydot[0]=y[0]*y[0]-y[0]*sin(*t)+cos(*t);' '}'] mputl(ccode,TMPDIR+'/myode.c') //create the C file cd TMPDIR ilib_for_link('myode','myode.c',[],'c',[],'loader.sce');//compile exec('loader.sce') //incremental linking y0=0;t0=0;t=0:0.1:%pi; y=ode(y0,t0,t,'myode'); // ---------- Simulation de dx/dt = A x(t) + B u(t) avec u(t)=sin(omega*t), // x0=[1;0] // solution x(t) desired at t=0.1, 0.2, 0.5 ,1. // A and u function are passed to RHS function in a list. // B and omega are passed as global variables function xdot=linear(t, x, A, u),xdot=A*x+B*u(t),endfunction function ut=u(t),ut=sin(omega*t),endfunction A=[1 1;0 2];B=[1;1];omega=5; ode([1;0],0,[0.1,0.2,0.5,1],list(linear,A,u)) // ----------Integration de l'équation différentielle de Riccati (état matriciel) // Xdot=A'*X + X*A - X'*B*X + C , X(0)=Identity // Solution at t=[1,2] function Xdot=ric(t, X),Xdot=A'*X+X*A-X'*B*X+C,endfunction A=[1,1;0,2]; B=[1,0;0,1]; C=[1,0;0,1]; t0=0;t=0:0.1:%pi; X=ode(eye(A),0,t,ric) // ---------- Calcul de exp(A) (état matriciel) A=[1,1;0,2]; function xdot=f(t, x),xdot=A*x;,endfunction ode(eye(A),0,1,f) ode("adams",eye(A),0,1,f) // ---------- Calcul de exp(A) (état matriciel, cas raide, jacobien fourni) A=[10,0;0,-1]; function xdot=f(t, x),xdot=A*x,endfunction function J=Jacobian(t, y),J=A,endfunction ode("stiff",[0;1],0,1,f,Jacobian) | ![]() | ![]() |
Alan C. Hindmarsh, lsode and lsodi, two new initial value ordinary differential equation solvers, acm-signum newsletter, vol. 15, no. 4 (1980), pp. 10-11.
Les sous-programmes associés se trouvent dans le répertoire SCI/modules/differential_equations/src/fortran/: lsode.f lsoda.f lsodar.f